А м ляпунов его вклад в теорию вероятности



Фонд Алтай 21 век

Архив

Мне радостно обнять чеканкой строк,

Как влагу жизни — кубком пира,

Единство цели, множество дорог

В живом многообразье мира.

Лента новостей

Творцы точных наук. Русские математики. Ф.Ф.Марков, А.М.Ляпунов

«Рассказы о русском первенстве» — читайте интересные статьи из этой книги, с продолжениями! Вы узнаете о реальном вкладе русских ученых и изобретателей в развитие мировой науки и техники.

Среди всех наук математике принадлежит особое место.

Творчество математиков, искусство оперировать числами и выражениями, умение составлять и решать уравнения, — словом целый арсенал математических методов нужен всем другим наукам и отраслям техники.

Замечательным математиком был ученик Чебышева Андрей Андреевич Марков.

Продолжая дело своего учителя, Марков установил наиболее общие условия, при которых выполняется закон больших чисел. Дав ответ на вопрос, когда и где можно применять этот закон, Марков широко распахнул дверь перед теорией вероятностей в естествознание и технику

Триумфом математической мысли была работа Маркова, посвященная центральной, предельной, теореме теории вероятностей.

Блестяще завершив исследования, начатые Чебышевым, Марков дал великолепное в своей ясности и безупречности доказательство этой теоремы, решающей вопрос о том, как часто какая-либо случайная величина принимает некоторое определенное значение. Он установил, что вероятность значений, принимаемых этой величиной, подчиняется строгому закону.

Центральная теорема, как и закон больших чисел, имеет фундаментальное значение в теории вероятностей.

Пользуясь результатами Маркова, физики могут с безукоризненной точностью вычислить, какая часть бесчисленного роя молекул обладает той или иной скоростью. Эта теорема лежит в основе расчетов таблиц для артиллерийской стрельбы. Выведенный из этой теоремы закон рассеивания снарядов дает возможность уверенно вести стрельбу, невзирая на множество случайных причин, отклоняющих снаряд от цели.

Развивая теорию вероятностей, Марков приступил к математическому истолкованию и значительно более сложных явлений.

В некоторых явлениях последующие состояния определенной системы не могут считаться независимыми от ее предыдущих состояний. Такая взаимосвязь сплошь и рядом наблюдается в технике и естествознании. Нельзя, например, численность колонии бактерий в какой-нибудь момент считать независимой от ее численности в предшествующее время.

Марков дал математическую теорию, способную описать такие сложные явления.

Исследователь показал, что все основные теоремы теории вероятностей могут быть доказаны и для этих связанных между собой как бы в некую цепь явлений. Его теория вошла в науку под названием «цепей Маркова».

Теория Маркова нашла исключительно широкое приложение в физике — она явилась могучим средством расчета атомных и молекулярных процессов.

Благодаря трудам русских математиков теория вероятностей стала подлинной наукой и завоевала право на применение в широком мире естествознания и техники.

Успехи теории вероятностей были столь разительны, что западные ученые тоже приступили всерьез к ее изучению. Однако они не смогли дать исследований, способных соперничать с трудами русской математической школы. Математики нашей родины не уступили своего первенства в развитии теории вероятностей.

Гениальным математиком был любимый ученик Чебышева Александр Михайлович Ляпунов. Работы Ляпунова, посвященные проблеме нахождения фигур равновесия однородной вращающейся жидкой массы, были великой победой математики. Эту задачу поставил перед Ляпуновым сам Чебышев.

Великий математик хорошо знал своего ученика и не побоялся ориентировать его на решение труднейшей проблемы, над которой свыше двухсот лет бились многие крупнейшие ученые, в числе которых были немецкие математики Гаусс и Якоби, французский математик Лаплас и другие. Были найдены только частные результаты, строгой же и обшей теории, указывающей, какую форму принимает вращающаяся жидкость, не существовало. Создания этой теории требовали многие отрасли науки и техники. Астрономам, например, она была нужна для того, чтобы выяснить вопросы образования планет, происхождения солнечной системы…

Ляпунов оправдал доверие Чебышева. Уже в 1884 году 26-летний математик в своей магистерской диссертации далеко продвинул решение задачи Чебышева. Но, строгий и взыскательный к себе, Ляпунов не был доволен достигнутыми результатами, хотя они уже намного перекрыли все известные исследования, посвященные фигурам равновесия. Ученый продолжал искать исчерпывающе полное решение проблемы.

Математиком иного склада был француз Анри Пуанкаре. Получив несколько позднее Ляпунова некоторые результаты, основанные на нестрогих доказательствах, а частично и догадках, Пуанкаре немедленно оповестил о них ученый мир. Любопытно, что Пуанкаре даже декларировал право ученых пользоваться в некоторых случаях нестрогими доказательствами. Он говорил «можно сделать много возражений, но в механике нельзя требовать такой же строгости, как в чистом анализе».

Интерес к проблеме фигур равновесия был так велик, что за свой труд, в котором имелась только малая доля того, чего достиг в своей диссертации Ляпунов, Пуанкаре был тотчас же избран в Парижскую Академию. Ученый мир с восторгом принял теорию Пуанкаре. Опираясь на нее, английский астроном Дарвин построил целую космогоническую гипотезу. Но дальнейшее показало, как опасен в науке путь скороспелых выводов и приближенных решений.

После семнадцати лет упорной, напряженной работы Ляпунов нашел исчерпывающее решение стоявшей перед ним задачи. Гипотеза Дарвина, основанная на заключении Пуанкаре, что грушевидная жидкая масса устойчива, рухнула, как карточный домик Ляпунов доказал, что универсальной фигуры равновесия нет, что она изменяется в зависимости от скорости вращения. Русский математик одержал полную победу.

Решение проблемы фигур равновесия — только глава в богатейшем наследстве Ляпунова.

Исключительное значение в технике имеет созданная Ляпуновым теория «устойчивости движения». С помощью ее конструктор рассчитывает, будет ли устойчив самолет в полете. Теория устойчивости помогает радиотехникам и электротехникам проверять свои схемы, решать, будет ли устойчива их работа.

Замечательные труды оставил Ляпунов в области математической физики. Решив так называемую задачу Дирихле, математик вооружил ученых и инженеров умением решать самые общие проблемы движения жидкости, электричества и т. д. Результаты, полученные им, излагаются во всех полных курсах математической физики. Прочно вошли в науку и особые поверхности, понятие о которых он ввел в математику. Они носят теперь название «поверхностей Ляпунова».

Соревнуясь с Марковым, Ляпунов иным, исключительно оригинальным методом, вошедшим в науку под именем метода характеристических функций, доказал центральную теорему теории вероятностей. Он получил результаты более чем достаточные для самых разнообразных практических приложений. Этот труд Ляпунова вошел во все учебники теории вероятностей и математической статистики.

Великий ученый был, подобно Чебышеву, и замечательным педагогом, воспитателем многих русских математиков.

Источник: Болховитинов В. и др. Рассказы о русском первенстве. Москва: Изд-во ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия», 1950. 424 с. С. 43-45.

Источник статьи: http://www.fondaltai21.ru/2019/07/08/tvorcyi-tochnyih-nauk-russkie-matematiki-f-f-markov-a-m-lyapunov/

Ляпунов Александр Михайлович

Ляпунóв Александр Михайлович, род. 25.5(6.6).1857, Ярославль — ум. 3.11.1918, Одесса.

Русский математик и механик, академик Петербургской АН (c 06.10.1901; чл.-корр. c 02.12.1900). Ученик П.Л.Чебышёва. В 1880 окончил Петербургский университет. С 1885 доцент, с 1892 профессор Харьковского университета; с 1902 работал в Петербурге.

Ляпунов создал современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров. С математической стороны этот вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого переменного к бесконечности. Устойчивость определялась Ляпуновым по отношению к возмущениям начальных данных движения. До работ Ляпунова вопросы об устойчивости обычно решались по первому приближению, то есть путём отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причём не выяснялась законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Ляпунова — построение общего метода для решения задач об устойчивости. Основным трудом в этой области является докторская диссертация Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (1892). В этой работе определяются основные понятия теории устойчивости, указываются случаи, когда рассмотрение линейных уравнений первого приближения даёт решение вопроса об устойчивости, и проводится подробное исследование некоторых важных случаев, когда первое приближение не даёт решения вопроса об устойчивости. Диссертация и последующие работы Ляпунова в рассматриваемой области содержат целый ряд фундаментальных результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений как линейных, так и нелинейных. Все работы по теории устойчивости движения отечественных и зарубежных учёных, выполненные после Ляпунова, основаны на его идеях и методах.

Большой цикл исследований Ляпунова посвящен теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости, частицы которой взаимно притягиваются по закону всемирного тяготения. До Ляпунова были установлены для однородной жидкости эллипсоидальные фигуры равновесия. Ляпунов впервые доказал существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости, близких к эллипсоидальным. Он установил, что от некоторых эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо неоднородной жидкости. Ляпунов разрешил также задачу, предложенную ему ещё в начале его научной деятельности П.Л.Чебышёвым, о возможности ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей (возможной для эллипсоидов) угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия. Ответ получился отрицательным. Ляпунов впервые строго доказал существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости при весьма общих предположениях об изменении плотности с глубиной. Ляпунов занимался также исследованием устойчивости как эллипсоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая однородной жидкости. Сама постановка вопроса об устойчивости для сплошной среды (жидкость) до работ Ляпунова была неясной. Он впервые строго поставил вопрос и с помощью тонкого математического анализа провёл исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал неустойчивость так называемых грушевидных фигур равновесия и тем самым опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж. Дарвина. Цикл работ Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур занимает центральное место во всей теории фигур равновесия.

Небольшим по объёму, но весьма важным для дальнейшего развития науки был цикл работ Ляпунова по некоторым вопросам математической физики. Среди работ этого цикла основное значение имеет его труд «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898). Эта работа основана на исследовании свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по некоторой поверхности. Наиболее существенно исследование так называемого потенциала двойного слоя (случай диполей). Далее Ляпунов получил важные результаты, касающиеся поведения производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на которой задано граничное условие. На этой основе им впервые были доказаны симметрия функции Грина для задачи Дирихле и формула, дающая решение задачи в виде интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие, на нормальную производную функции Грина. При всех этих условиях Ляпунов налагает на граничную поверхность некоторые ограничения; поверхности, удовлетворяющие им, называются теперь поверхностями Ляпунова.

В теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования (метод «характеристических функций»), замечательный по своей общности и плодотворности; обобщая исследования П.Л.Чебышева и А.А.Маркова (старшего), Ляпунов доказал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники. В целом ряде работ Ляпунова содержится большое число принципиально новых понятий математического анализа. Язык и расуждения Ляпунова отличаются большой точностью, и высказываемое мнение о трудности чтения его работ очень часто объясняется только особой сложностью рассматриваемых проблем. Все исследования Ляпунова являются источником новых работ во многих направлениях математики.

Ляпунов — иностранный чл.-корр. Парижской АН (1916).

В 1969 в РАН учреждена Золотая медаль имени А.М.Ляпунова.

Общая задача об устойчивости движения, М. — Л., 1950;

Избранные труды, под редакцией В. И. Смирнова, Л., 1948 (имеется библиография трудов Л. и литература о нём);

Источник статьи: http://math.ru/history/people/Lyapunov_AM


Adblock
detector