Буль и его вклад в алгебру логики



Основатель алгебры логики — Джордж Буль

Джордж Буль по праву считается отцом математической логики. Для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Поскольку основы такой алгебры были заложены в трудах английского математика Джоржа Буля, то алгебра логики получила также название булевой алгебры. Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

В ХХ столетии ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

Джордж Буль родился в Линкольне (Англия) в семье мелкого торговца. Материальное положение его родителей было тяжелым, поэтому Джордж смог окончить только начальную школу для детей бедняков; в других учебных заведениях он не учился. Этим отчасти и объясняется, что, не связанный традицией, он пошел в науке собственным путем. Буль самостоятельно изучал латынь, древнегреческий, немецкий и французский языки, изучил философские трактаты. С ранних лет Буль искал работу, оставляющую возможности для самообразования. После многих неудачных попыток Булю удалось открыть маленькую начальную школу, в которой он преподавал сам. Школьные учебники по математике привели его в ужас своей нестрогостью и нелогичностью, Буль вынужден был обратиться к сочинениям классиков науки и самостоятельно проштудировать обширные труды Лапласса и Лагранжа.

В связи с этим у него появились первые самостоятельные идеи. Результаты своих исследований Буль сообщил в письмах профессорам математики (Д.Грегори и А. де Моргану) знаменитого Кембриджского университета и вскоре получил известность как оригинально мыслящий математик. В 1849 году в г. Корк (Ирландия) открылось новое высшее учебное заведение — Куинз-колледж, по рекомендации коллег-математиков Буль получил здесь профессуру, которую сохранил до своей смерти в 1864 году. Только здесь он получил возможность не только обеспечить родителей, но и спокойно, без мыслей о хлебе насущном, заниматься наукой. Здесь же он женился на дочери профессора греческого языка Мери Эверест, которая помогала Булю в работе и оставила после его смерти интересные воспоминания о своем муже; она стала матерью четырех дочерей Буля, одна из которых, Этель Лилиан Буль, в в замужестве Войнич, — автор популярного романа «Овод».

Первым попытался перевести законы мышления (формальную логику) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, был немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (в 1666 г.). Спустя более ста лет, в 1816 году, уже после смерти Лейбница, Джордж Буль подхватил его идею о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам. Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв, до предложений.

Буль был, вероятно, одним из первых математиков, обратившимся к логической проблематике. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов.

В 1848 году Джордж Буль опубликовал статью по началам математической логики – «Математический анализ логики, или Опыт исчисления Дедуктивных умозаключений», а в 1854 году появился главный его труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей». В этих работах отразилось убеждение Буля о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не обязательно над числами. Ученый говорил о символическом методе, который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования, так и к логическому выводу и к теоретико-вероятностным рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней.

Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).

Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключателей схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным.

А еще несколько десятилетий спустя, уже в ХХ столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления (цифры которой 0 и 1 также подходят для описание двух состояний: утверждение истинно — утверждение ложно, лампочка горит — лампочка не горит), заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

Список использованной литературы

Колмыкова, Е.А. Информатика [Текст]: учеб. пособие для студентов учреждений сред. проф. образования / Е.А. Колмыкова, И.А. Кумскова. – Москва: ИЦ «Академия», 2011. – 416 с. – [Допущено МО России].

Проектная деятельность учащихся [Текст] / Сост. Э. С. Ларина. — Волгоград: Изд-во «Учитель», 2009. – 155 с.

Источник статьи: http://infourok.ru/material.html?mid=127445

Вклад в развитие логики: Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс

Джордж Буль (1815-1864) считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. Благодаря его работам логика «перестала зависеть от породившего её естественного языка» [1], обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. Появилась возможность не только устно её выражать, но и записывать на бумаге в виде символов, формул, а также преобразовывать по чётко сформулированным правилам.

Главные работы на эту тему:

«Математический анализ логики» (1847) – С неё начались размышления о логике не «извне», а «изнутри».

«Логическое исчисление» (1848).

«Исследование законов мысли» (1854) – В ней показано, как при помощи символических алгебраических методов можно строить логические конструкции и как определить вероятность события, связанного с заданными вероятностями совокупности событий. Вот пара аксиом из этой работы:

«A true idea ought to agree with its own object», что дословно переводится как «истинная идея должна согласовываться со своим собственным объектом».

«Things which have nothing in common cannot be understood by means of each other; or the conception of the one does not involve the conception of the other» [2] – «Вещи, которые не имеют ничего общего, не могут быть поняты посредством друг друга; или понятие одного не включает в себя понятие другого».

Дж. Буль создал новый вид алгебры. Сейчас её так и называют — «булева алгебра», а формулировка «булева переменная» вошла в обиход программистов, операторов и многих пользователей ЭВМ. В современности его исследования относят к области кибернетики.

Работу Буля высоко оценил английский математик Огастес де Морган (1806-1871). Он хотел также сблизить математику и логику. Его главные работы на данную тему:

«Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных» (1847) – В ней были изложены элементы логики высказываний и логики классов, дана первая развитая система алгебры отношений. При чём некоторые положения из неё даже опередили Дж. Буля.

«Тригонометрия и двойная алгебра» (1849) – Благодаря идее символической алгебры на исчисление комплексных величин они, в свою очередь, были строго обоснованы не только геометрически, но и алгебраически.

«Заметки о вероятностях и об их применимости к исследованию рисков для жизни и работе страховых компаний» (1838) – Первое изображение нормального распределения вероятностей.

Многие Моргана называют подлинным основоположником логического анализа отношений. В честь его имени были названы логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания – законы де Моргана.

Убеждение, значение, истина и реальность, а не индивидуальное сознание

С 1867 года начали публиковаться работы Чарльза Сандерс Пирса (1839-1914) по логике. А уже в 1876-1878 годах были опубликованы две его популярных статьи: «Закрепление верования» и «Как сделать ясными наши идеи», в которых были описаны идеи, составившие ядра прагматизма и семиотики. В настоящее время благодаря этим работам он считается отцом (основоположником) этого учения.

Он считал, что любое правильное рассуждение является дедуктивным, индуктивным, гипотетическим или же оно совмещает одновременно несколько из этих свойств. Индукция, по его мнению, «есть увеличение широты без изменения глубины – посредством увеличения информации, в которой убеждены». Дедукция, если кратко, — логические рассуждения, направленные от общего к частному.

«Знание приходит к нам через наблюдение. Некая часть навязывается нам извне и, по всей видимости, оказывается производной Природного ума; некая часть приходит из глубин ума, видимого нам изнутри, — ума, который мы эгоистически именуем таким несогласованным словосочетанием, как «наш ум» [3]. То есть для вывода сути нужны три элемента: связывание, наблюдение и суждение, что то, над чем наблюдали, согласно с правилом в связанных данных. Цель знаков (цель мысли) – дать выражение истине.

Сводимость математики к логике

Фреге Готтлоб (1848-1925) также относится к основоположникам современной математизированной логики. Как комментировали Б. В. Бирюкова и З. А. Кузичева: главный замысел в его работах – подвести под математику (исключая геометрию) строгий логический базис. Он следовал Лейбницевой установке на логизацию науки, а также частично принимал учения Иммануила Канта о природе математики и её суждений, вне зависимости от опыта.

Революционный вклад в логику и философию языка внесло его сочинение «Исчисление понятий» (1879). Можно сказать, что он изобрёл и аксиоматизировал логику предикатов. Что, в свою очередь, позволило решить средневековую проблему множественной общности. А также определил различия между значением и смыслом – ввёл понятие семантического треугольника (треугольника Фреге).

«Цель, к которой устремлена наука, это истина. Когда наш ум приходит к признанию чего-либо истинным, мы судим, выносим своё суждение, а когда это суждение высказываем, мы утверждаем его» [4]. Независимо от нашего признания, истина всегда остаётся истиной.

Список использованных источников:

Бирюков Б. В. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики.

Буль Дж. Исследование законов мышления. – London: Walter and Maberly, Cambridge: MacMillan and Co 1854.-424с., [212] с.

Пирс Ч.С. – Начала прагматизма. Том 2. Логические основания теории знаков. – СПб.: Лаборатория метафизических исследований философского факультета СПбГУ; Алетейя, 2000. – 352с.

Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сборник трудов. – М.: Аспект Пресс, 2000.-512с., [287] с.

Автор: Амосова Виктория, писатель

Редактор: Чекардина Елизавета Юрьевна

Источник статьи: http://pikabu.ru/story/vklad_v_razvitie_logiki_dzh_bul_o_de_morgan_g_frege_ch_pirs_7344144


Adblock
detector