Эйлер его вклад в теорию чисел



Великие математики — Леонард Эйлер

Леонард Эйлер — известный математик, живший в 18 веке, который внес в эту науку огромный вклад. Большие ученые — интернациональны и своим ученым Эйлера считает Германия, Швейцария, а также и Россия. Эйлер является автором более чем 800 работ по математическому анализу, геометрии математической физике и другим. Но он изучал и другие науки, например физику, химию, музыку и множество языков.

Эйлер очень много времени провел в России и оказал на развитие математики в России большое влияние. Он отлично знал русский язык.
Сын пастора, готовившийся с детства к духовной карьере очень рано, еще в подростковом возрасте обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Тот передал одаренному юноше математические статьи для изучения, помогая при этом в трудных и непонятных местах. Фактически, Иоганн Бернулли стал первым наставником Леонарда Эйлера и если не определил, то закрепил любовь юноши к математике. В то время юный гений написал свои первые научные работы по математике. а через некоторое время уехал в Россию.

Дело в том, что в Швейцарии — маленькой стране, где жил Леонард для получения “приличного”, например, профессорского места было слишком мало возможностей. Россия в те времена представляла огромный интерес для молодых ученых. И в 1727 году Эйлер получил место помощника профессора кафедры физиологии в Санкт-Петербургском университете.

Леонард Эйлер в России

Он прожил больше 10 лет в России, написал множество научных трудов, активно участвовал в становлении российской науки, но в 1741 году уехал в Пруссию. Это было связано с тем, что в России императором был объявлен Иоанн VI и обстановка в сфере науки ухудшилась. А через 20 лет, при восшествии на престол Екатерины II Эйлер снова возвращается в Россию уже до конца жизни.

Эйлер оставил очень важные работы по самым различным отраслям математики. Вообще, математики называют XVIII век — веком Эйлера.. Он впервые логически связал алгебру, геометрию,анализ, тригонометрию, теорию чисел в единую систему, и при этом сделал сам немало открытий.
Можно сказать, что именно он создал множество современных математических наук — теорию чисел, дифференциальную геометрию поверхностей и другие.При всем его таланте, друзья и современники Эйлера говорили о том, что это был человек дружелюбный, приветливый и очень скромный.

Сегодня в школе изучают «уравнение Эйлера», зная только фамилию. Но за ней скрывается целая человеческая жизнь талантливого неординарного человека.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Источник статьи: http://www.pocketteacher.ru/leonard-eiler-matematik-ru

Вклад Леонарда Эйлера в математику — Contributions of Leonhard Euler to mathematics

Швейцарский математик 18-го века Леонард Эйлер (1707–1783) — один из самых плодовитых и успешных математиков в истории этой области . Его основополагающая работа оказала глубокое влияние на многие области математики, и ему широко приписывают введение и популяризацию современных обозначений и терминологии.

Содержание

Математические обозначения

Эйлер ввел большую часть используемых сегодня математических обозначений, таких как обозначение f ( x ) для описания функции и современные обозначения для тригонометрических функций . Он был первым, кто использовал букву e в качестве основания натурального логарифма , теперь известного как число Эйлера . Использование греческой буквы для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером (хотя это и произошло не от него). Ему также приписывают изобретение для обозначения я для обозначения . π < displaystyle pi> — 1 < displaystyle < sqrt <-1>>>

Комплексный анализ

Эйлер внес важный вклад в комплексный анализ . Он ввел научное обозначение. Он открыл то, что теперь известно как формула Эйлера , что для любого действительного числа комплексная экспоненциальная функция удовлетворяет φ < displaystyle varphi>

е я φ знак равно потому что ⁡ φ + я грех ⁡ φ . < displaystyle e ^ <я varphi>= cos varphi + i sin varphi.>

Ричард Фейнман назвал это «самой замечательной математической формулой» . Тождество Эйлера — частный случай этого:

Это тождество особенно примечательно , как она включает в себя е , , я , 1 и 0, возможно, пять наиболее важных констант в математике. π < displaystyle pi>

Анализ

Развитие исчисления было в авангарде математических исследований 18 века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть первых успехов в этой области. Понимание бесконечности было основным направлением исследований Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера, возможно, были неприемлемы с точки зрения современных стандартов строгости , его идеи были ответственны за многие большие успехи. Прежде всего, Эйлер ввел понятие функции и ввел использование экспоненциальной функции и логарифмов в аналитических доказательствах.

Эйлер часто использовал логарифмические функции как инструмент в задачах анализа и открыл новые способы их использования. Он открыл способы выражения различных логарифмических функций в терминах степенных рядов и успешно определил логарифмы для комплексных и отрицательных чисел, тем самым значительно расширив область применения логарифмов в математике. Большинство исследователей в этой области долгое время придерживалось мнения, что для любого положительного значения существует реальное значение, поскольку с помощью свойства аддитивности логарифмов . В 1747 письме Д’Аламбер , Эйлер определил натуральный логарифм -1 , как чисто мнимым . журнал ⁡ ( Икс ) знак равно журнал ⁡ ( — Икс ) < Displaystyle журнал (х) = журнал (-x)> Икс < displaystyle x> 2 журнал ⁡ ( — Икс ) знак равно журнал ⁡ ( ( — Икс ) 2 ) знак равно журнал ⁡ ( Икс 2 ) знак равно 2 журнал ⁡ ( Икс ) < Displaystyle 2 журнал (-x) = журнал ((- x) ^ <2>) = журнал (x ^ <2>) = 2 журнал (x)> я π < displaystyle i pi>

Эйлер хорошо известен в области анализа благодаря частому использованию и развитию степенных рядов, то есть выражению функций в виде сумм бесконечно многих членов, таких как

е знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ 1 п ! знак равно Lim п → ∞ ( 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + ⋯ + 1 п ! ) . < displaystyle e = sum _ ^ < infty> <1 over n!>= lim _ left ( < frac <1><0!>> + < frac <1><1!>> + < frac <1><2!>> + cdots + < frac <1>> right).>

Примечательно, что Эйлер открыл разложения в степенной ряд для e и функцию обратной касательной

арктан ⁡ z знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ ( — 1 ) п z 2 п + 1 2 п + 1 . < displaystyle arctan z = sum _ ^ < infty> < frac <(-1) ^ z ^ <2n + 1>> <2n + 1>>.>.

Его использование степенных рядов позволило ему решить знаменитую проблему Базеля в 1735 году:

Lim п → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 п 2 ) знак равно π 2 6 . < displaystyle lim _ left ( < frac <1><1 ^ <2>>> + < frac <1><2 ^ <2>>> + < frac < 1><3 ^ <2>>> + cdots + < frac <1>>> right) = < frac < pi ^ <2>> <6>>.>

Кроме того, Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций, введя гамма-функцию, и ввел новый метод решения уравнений четвертой степени . Он также нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие комплексного анализа . Эйлер изобрел вариационное исчисление, включая его самый известный результат — уравнение Эйлера – Лагранжа .

Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Создавая основу для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию непрерывных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя дивергенцию гармонических рядов, и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределяются простые числа . Работа Эйлера в этой области привела к развитию теоремы о простых числах .

Теория чисел

Большой интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием его друга по Петербургской академии Кристиана Гольдбаха . Многие его ранние работы по теории чисел были основаны на работах Пьера де Ферма и развили некоторые идеи Ферма.

Одна из задач Эйлера заключалась в том, чтобы связать природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами, известную как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана .

Эйлер доказал тождество Ньютона , малую теорему Ферма , теорема Ферма о суммах двух квадратов , и сделал особый вклад в четырех квадратной теорему Лагранжа . Он также изобрел общую функцию φ (n), которая присваивает положительному целому числу n количество положительных целых чисел, меньших n и взаимно простых с n. Используя свойства этой функции, он смог обобщить маленькую теорему Ферма до того, что впоследствии стало известно как теорема Эйлера . Кроме того, он внес значительный вклад в понимание идеальных чисел , которые увлекали математиков со времен Евклида . Эйлер продвинулся к теореме о простых числах и предположил закон квадратичной взаимности . Эти две концепции считаются фундаментальными теоремами теории чисел, и его идеи проложили путь Карлу Фридриху Гауссу .

Теория графов и топология

В 1736 году Эйлер решил или, вернее, оказался неразрешимой проблему, известную как семь мостов Кенигсберга. Город Кенигсберг , Прусское королевство (ныне Калининград, Россия), расположен на реке Прегель и включает два больших острова, которые были связаны друг с другом и с материком семью мостами. Вопрос в том, можно ли пройти по маршруту, который пересекает каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку. Решение Эйлера проблемы Кенигсбергского моста считается первой теоремой теории графов . Кроме того, его признание того, что ключевой информацией является количество мостов и список их конечных точек (а не их точное положение), предвещало развитие топологии .

Эйлер также внес вклад в понимание плоских графов . Он ввел формулу, определяющую соотношение между количеством ребер, вершин и граней выпуклого многогранника. Для такого многогранника чередующаяся сумма вершин, ребер и граней равна константе: VE + F = 2. Эта константа χ является эйлеровой характеристикой плоскости. Изучение и обобщение этого уравнения, особенно Коши и Люйе, лежит в основе топологии . Эйлерова характеристика, которая может быть обобщена на любое топологическое пространство как знакопеременная сумма чисел Бетти , естественным образом возникает из гомологии . В частности, он равен 2 — 2 g для замкнутой ориентированной поверхности рода g и 2 — k для неориентируемой поверхности с k поперечными крышками. Это свойство привело к определению систем вращения в топологической теории графов .

Прикладная математика

Большинство величайших успехов Эйлера заключались в применении аналитических методов к проблемам реального мира, описанию многочисленных приложений чисел Бернулли , рядов Фурье , диаграмм Венна , чисел Эйлера , констант e и π , цепных дробей и интегралов. Он интегрирован Лейбница «s дифференциальное исчисление с ньютоновской методом флюксий , и развитые инструменты , которые сделали его легче применить исчисление к физическим проблемам. В частности, он добился больших успехов в улучшении численного приближения интегралов, изобретя то, что теперь известно как приближения Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера и формула Эйлера – Маклорена . Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений , в частности, введя постоянную Эйлера – Маскерони :

γ знак равно Lim п → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 п — пер ⁡ ( п ) ) . < displaystyle gamma = lim _ left (1 + < frac <1><2>> + < frac <1><3>> + < frac <1>< 4>> + cdots + < frac <1>> — ln (n) right).>

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae , надеясь в конечном итоге интегрировать теорию музыки в математику. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и однажды была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков.

Работает

Отдельно опубликованы работы Эйлера:

  • Dissertatio Physica de Sono (Диссертация по физике звука) (Базель, 1727, in Quarto)
  • Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita (СПб., 1736, в 2 т. кварто)
  • Einleitung in die Arithmetik (Санкт-Петербург, 1738, в 2-х томах octavo), на немецком и русском языках.
  • Tentamen novae theoriae musicae (Санкт-Петербург, 1739, в кварто)
  • Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive proprietate gaudentes (Лозанна, 1744 г., в кварто)
    • Additamentum II ( перевод на английский )
  • Theoria motuum planetarum et cometarum (Берлин, 1744 г., в кварто)
  • Beantwortung и т. Д. или Ответы на разные вопросы о кометах (Берлин, 1744 г., в октаву)
  • Neue Grundsatze и т. Д. или Новые принципы артиллерии, перевод с английского Бенджамина Робинса, с примечаниями и иллюстрациями (Берлин, 1745 г., в октаво)
  • Opuscula varii arguments (Берлин, 1746–1751, в 3 тт. Кварто)
  • Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (Берлин, 1746, in Quarto)
  • Tabulae astronomicae solis et lunae (Берлин, квартал)
  • Геданкен и т. Д. или Мысли об элементах тел (Берлин, in Quarto)
  • Rettung der gall-lichen Offenbarung и т. Д. , Защита Божественного откровения от вольнодумцев (Берлин, 1747, in Quarto)
  • Introductio in analysin infinitorum (Введение в анализ бесконечностей) (Лозанна, 1748, в 2-х томах. Кварто)
  • Введение в анализ бесконечного, пер. Дж. Блэнтон (Нью-Йорк, 1988–1990 в 2-х томах)
  • Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus (СПб., 1749, в 2 тт. Кварто)
  • Полная теория конструкции и свойств судов с практическими выводами по управлению судами, упрощенная для мореплавателей. В переводе с книги Хена Уотсона, эсквайра, из книги «Завершение строительства и маневра вейссо» знаменитого Леонарда Эйлера. Корнихилл, 1790 г.)
  • Exposé Concerant l’examen de la lettre de M. de Leibnitz (1752 г., английский перевод )
  • Theoria motus lunae (Берлин, 1753, в кварто)
  • Dissertatio de Principio mininiae actionis, una cum explore objectionum cl. проф. Кенигий (Берлин, 1753 г., октаво)
  • Institutiones Calculi Differentialis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac doctrina serierum (Берлин, 1755, in Quarto)
  • Constructio lentium objectivarum и т. Д. (Санкт-Петербург, 1762 г., квартал)
  • Theoria motus corporum solidorum seu rigigorum (Росток, 1765, в кварто)
  • Институты, интегральные исчисления (СПб, 1768–1770, в 3 тт. Кварто)
  • Lettres a une Princesse d’Allernagne sur quelques sujets de Physique et de Philosphie (Санкт-Петербург, 1768–1772, в 3-х томах octavo)
  • Письма Эйлера к немецкой принцессе по различным предметам физики и философии (Лондон, 1802 г., в 2-х томах).
  • Anleitung zurЭлементы алгебры алгебры (СПб., 1770, in octavo); Dioptrica (СПб., 1767–1771, в 3 т. Кварто)
  • Theoria motuum lunge nova methoddo pertr. arctata ‘(СПб., 1772, в кварто)
  • Novae tabulae lunares (Санкт-Петербург, октаво); Завершенная теория строительства и маневров vaisseaux (Санкт-Петербург, 1773, in octavo).
  • Eclaircissements svr etablissements en Favor taut des veuves que des marts , без даты
  • Opuscula analytica (СПб., 1783–1785, в 2 т. Кварто). См. F. Rudio , Leonhard Euler (Базель, 1884).
  • и Кристиан Гольдбах, Леонард Эйлер и Кристиан Гольдбах, Briefwechsel, 1729-1764 гг. А.П. Юскевич и Э. Винтер. [Übersetzungen aus dem Russischen und redaktionelle Bearbeitung der Ausgabe: P. Hoffmann] (Берлин: Akademie-Verlag, 1965).

Источник статьи: http://ru.qaz.wiki/wiki/Contributions_of_Leonhard_Euler_to_mathematics


Adblock
detector