Які виміри вносять найбільший вклад в похибку



Класифікація та властивості похибок вимірів

Результати високоточних вимірів не співпадають з істинними значеннями вимірюваних величин, а повторні вимірювання не дають однакові результати. Це виникає тому, що в кожному вимірюванні неможливо абсолютно точно дотриматись незмінності комплексу умов. Тобто кожен результат вимірів обмежений похибками вимірювань.

Різницю між результатом вимірювань х і істинною величиною Х, або дійсною величиною називають похибкою вимірів:

D = х – Х; . (4.2)

За своїм характером похибки діляться на:

Грубі похибки – величина яких недопустима при даному комплексі умов. Їх виявляють шляхом обчислень і такі результати в математичну обробку не включають, а вимірювання повторюють.

Систематичні похибки – похибки, які входять в кожен результат вимірів з одним знаком, однією величиною або змінюються за певним законом (функцією). Величину їх визначають шляхом експериментальних вимірювань і вводять в результати вимірів.

Якщо відомі істинне значення Х та дійсне значення , то систематичну похибку визначають за формулою:

(4.3)

де с, l систематична похибка.

Випадкові похибки виникають внаслідок незначного порушення комплексу умов при кожному вимірюванні, причому їх величину і знак передбачити неможливо.

Випадкові похибки в свою чергу поділяють на:

— імовірні vi = xi, (4.5)

де Х – істинне значення шуканої величини;

– дійсне, імовірне або середнє арифметичне значення вимірюваної величини;

хі – результат вимірювання.

Імовірним значенням називають отримане за результатами обробки вимірів х1, х2, . хп значення шуканої величини найбільш близьке до істинного.

Вивченням властивостей та закономірності дії похибок вимірів, розробкою методів отримання найбільш точних значень виміряних величин та характеристик їх точності займається теорія похибок вимірів.

Випадкові істинні та імовірні похибки при заданому комплексі умов мають такі властивості.

1. Обмеженості. По абсолютній величині не перевищують граничної величини

2. Унімодальності. Малі по абсолютній величині випадкові похибки зустрічаються в ряду вимірів х1, х2, . хп частіше великих

3. Симетричності. В достатньо великому ряду вимірів кількість похибок з різними знаками приблизно однакова

4. Компенсації. Сума випадкових похибок розділена на їх число, при необмеженій кількості вимірів наближається до нуля

. (4.9)

Властивість компенсації випадкових похибок дозволяє визначити по ряду вимірів однієї і тієї ж величини результат, найбільш близький до істинного.

26. Математична обробка рівноточних вимірів

Виконано ряд вимірів х1, х2, . хп при практично незмінному комплексі умов. Тоді вимірі хі вважаються рівноточними [8].

Обчислимо істинні похибки за формулою 4.4, складемо їх, поділимо на п і отримаємо:

; (4.10)

. (4.11)

За четвертою властивістю при n ®¥ .

Тоді . (4.12)

Позначимо і отримаємо = Х, коли n ®¥. Це означає, що при достатньо великій кількості вимірів, середнє арифметичне буде найбільш імовірним значенням, тобто найбільш близьким до істинного значення Х. Таку властивість називають принципом арифметичної середини.

Таким чином визначена кількісна характеристика вимірів, середнє арифметичне або ймовірне значення обчислюється за формулою

, (4.13)

або , (4.14)

Критерієм(мірою) точності, або якісними характеристиками ряду вимірів є середні квадратичні похибки:

а) кожного окремого виміру хі:

, (4.15)

застосовується коли відоме істинне значення шуканої величини;

, (4.16)

застосовується коли невідоме Х, а обчислене .

б) середнього арифметичного

. (4.17)

Допустима (гранична) похибка в ряду вимірів х1, х2, . хп обчислюється за формулою

де параметр t обчислюється або вибирається із таблиці функції Лапласса в залежності від заданої довірчої ймовірності р. Відповідно маємо:

р = 0,997 t = 3,0 – при високоточних вимірюваннях;

р = 0,95 t = 2,5 – при вимірюваннях середньої точності;

р = 0,90 t = 2,0 – при технічних вимірюваннях.

Систематичну похибку обчислюють за формулою:

, або . (4.20)

Якщо в ряду вимірів |Dі| > Dгр або |vi| > Dгр, то такий вимір вважається грубим, його відкидають і його вимірювання повторюють.

Для лінійних вимірювань визначають відносні похибки, які теж є мірою точності:

— відносна середня квадратична похибка

; (4.21)

— відносна гранична похибка

; (4.22)

На основі отриманих характеристик , m, M, Dгр та роблять остаточний висновок про якість вимірів.

№ виміру хі (м) vi (см) Обчислення
181,32 +6 = 181,26 м
181,21 — 5 = 4,7 см
181,24 — 2 = 2,35 см
181,27 +1 Dгр = ± 2× 4,7 = ± 9,4 см
S 625,04 1/Т = 9,4/181,26 = 1/1928

Оскільки vi 2 204,36 1,0 +14 +14 -2 -2 4,0 204,22 0,6 -16 -9,6 153,6 204,46 1,7 +24 +40,8 +8 +13,6 108,8 204,35 0,8 +13 10,4 -3 -2,4 7,2 H0 204,22 S 4,1 S +65,2 S -0,4 273,6

Рис. 4.2. Схема визначення висоти точки А

Вага р при С = 10 обчислені за формулою (4.23).

Загальне середнє арифметичне обчислене за формулою

,

де Н0 – мінімальне значення із отриманих висот по ходу 2.

Середні квадратичні похибки одиниці ваги m та загального середнього арифметичного дорівнюють:

9,5 см; 4,6 cм.

Середня квадратична похибка визначення висоти точки А по третьому ходу складе

7,3 см.

28. Оцінка точності функцій виміряних величин

При виконанні посередніх вимірів безпосередньо вимірюють декілька величин х1,х2. хп. Шукана величина обчислюється за функцією

Рис. 4.3. Схема визначення недоступної відстані

Тоді шукану відстань визначають за формулою

Якщо відомі середні квадратичні похибки m1, m2, . mп безпосередньо виміряних величин х1, х2, . хп для визначення функції у (формула 4.32), то середня квадратична похибка функції my буде дорівнювати корню квадратному із суми квадратів добутку часткових похідних функцій по кожному із аргументів на середні квадратичні похибки відповідних

аргументів , тобто

, (4.34)

де — часткові похідні функції у по наближеним (виміряним) значенням аргументів хі.

Для функції у = х1 ± х2 ± . ± хп =

(4.35)

Для функції у = с1х1 ± с2х2 ± . ±сnхп =

(4.36)

Приклад. При визначені на місцевості площі S прямокутної ділянки виміряні сторонами а = 40м та b = 20 м з середніми квадратичними похибками ma = 2 см ; mb = 1см.

Розв’язання. Площа ділянки обчислюється за формулою S = a × b.

За формулою (4.34) визначимо середню квадратичну похибку площі ділянки

оскільки ; ,

Тоді .

Дата добавления: 2014-01-04 ; Просмотров: 2709 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник статьи: http://studopedia.su/5_16403_klasifikatsiya-ta-vlastivosti-pohibok-vimiriv.html


Adblock
detector